Fraktale - podstawy matematyczne i zastosowania

Zespół opracowujący: dr inż. Tomasz Martyn

Wymiar godzinowy zajęć:  W  C  L   P
                         2   -   -   1

Klasy tematyczne: PZ-P, GRAFK

Wymagane przedmioty poprzedzające: GKOM

Zalecane przedmioty poprzedzające: -

Przedmioty podobne: FGK

Forma zaliczenia:  zaliczenie

Semestr zalecany:  -

Słowa kluczowe: matematyka, fraktale, grafika komputerowa

Krótka Carakterystyka wykładu: Wykład poświecony, cieszącej się w ostatnich latach sporym zainteresowaniem, teorii fraktali. Główny nacisk wykładu kładziony jest na ukazanie zbiorów fraktalnych jako wynikających w naturalny sposób z ogólnie znanych pojęć i twierdzeń matematycznych. Z drugiej strony, wykład aspiruje do prezentacji idei matematycznych w sposób przystępny, wykorzystując w tym celu popularne obiekty jakimi są fraktale. Wydaje się bowiem, ze znajomość i intuicyjne rozumienie podstaw nowoczesnej matematyki stosowanej należy nie tylko do tzw. kultury matematycznej jaką winien posiadać absolwent wyższej uczelni technicznej, ale również wiedza taka jest niezbędna do rozwiązywania problemów powstających w praktycznej pracy inżyniera informatyka.

Na kolejnych jednostkach wykładowych są przedstawiane: elementy topologii metrycznej, oraz podstawy teorii miary, prawdopodobieństwa i wymiaru. Prezentowane idee teoretyczne są bogato ilustrowane praktycznymi zastosowaniami w nauce, ze szczególnym uwzględnieniem grafiki komputerowej, w tym realistycznej wizualizacji i modelowania zjawisk naturalnych.

Treść wykładu

Wykład 1. Wprowadzenie.
Uwagi historyczne. Fraktale jako obiekty matematyczne. Związki z teorią chaosu deterministycznego. Przykładowe konstrukcje zbiorów fraktalnych.

Wykład 2. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych.
Przestrzeń metryczna. Przestrzeń z normą. Ciągi Cauchy'ego. Ciągi zbieżne. Przestrzeń metryczna zupełna. Przestrzeń Banacha. Równoważność metryk i norm. Odwzorowania ciągłe i homeomorfizm.

Wykład 3. Właściwości metryczne i topologiczne zbiorów (1).
Punkt skupienia. Zbiór domknięty i doskonały. Zbiory ograniczone i całkowicie ograniczone. Zbiory zwarte.

Wykład 4. Właściwości metryczne i topologiczne zbiorów (2).
Zbiory otwarte i punkty wewnętrzne. Uwagi o aksjomatach przestrzeni topologicznych. Brzeg zbioru. Zbiory spójne, niespójne i całkowicie niespójne. Spójność łukowa.

Wykład 5. Przestrzeń fraktali.
Definicje metryki Hausdorffa. Przestrzeń fraktali jako przestrzeń metryczna zupełna. Ciągłość w sensie Lipschitza. Operator zwężający. Punkt stały. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym.

Wykład 6. Operator Hutchinsona.
Konstrukcja operatora Hutchinsona. Operator Hutchinsona jako odwzorowanie zwężające na przestrzeni fraktali. Fraktale jako atraktory IFS. Algorytm deterministyczny i probabilistyczny wizualizacji atraktorów IFS.

Wykład 7. Konstruowanie fraktali (1).
Twierdzenie kolażowe (ang. the collage theorem). Odwzorowanie afiniczne. Metody wyznaczania współczynników zwężania odwzorowania afinicznego. Wizualizacja fraktali przy wykorzystaniu algorytmu adaptacyjnych odciec. Uwagi o fraktalym morfingu i zastosowaniu metod ewolucyjnych w modelowaniu.

Wykład 8. Konstruowanie fraktali (2).
Sfera Riemanna. Odwzorowania Mobiusa, wymierne, analityczne. Zbiory Julii i Mandelbrota. Algorytm ucieczki i jego warianty. Wizualizacja atraktorów IFS algorytmem ucieczki. Zbiory Julii jako atraktory IFS.

Wykład 9. Realistyczna wizualizacja fraktali.
Problemy wizualizacji fraktali z dokładnością pikselową. Wizualizacja atraktorów IFS metoda śledzenia promieni. Hierarchie brył ograniczających i technika instancji obiektów. Metody szacowania normalnych w punktach powierzchni fraktalnych. Transformacje fraktali w przestrzeni wizualizowanej sceny.

Wykład 10. Przestrzeń adresów.
Adresy punktów atraktora IFS. Przestrzeń adresów. Ciągle odwzorowanie przestrzeni adresów na atraktor IFS. Spójność i niespójność IFS. Uwagi o poprawności algorytmu probabilistycznego wizualizacji fraktali. Zastosowania idei przestrzeni adresów do teksturowania fraktali i wydajnej wizualizacji algorytmem z-bufora.

Wykład 11. Uogólnienia IFS.
Zbiory kondensacji. Atraktor IFS jako obraz podzbioru przestrzeni adresów. IFS rekurencyjny i hierarchiczny.

Wykład 12. Fraktalna interpolacja.
Fraktalne funkcje i powierzchnie. Fraktalna interpolacja i jej zastosowania w grafice komputerowej. IFS ze zmiennymi ukrytymi. Krzywe wypełniające przestrzeń.

Wykład 13. Wymiar fraktalny.
Elementy teorii wymiaru. Wymiar topologiczny, pudełkowy i Hausdorffa. Techniki wyznaczania wymiaru zbioru i zastosowania w nauce.

Wykład 14. Miara niezmiennicza (1).
Elementy teorii miary. Miara i całka Lebesgue'a. Operator Markowa jako odwzorowanie zwężające na przestrzeni unormowanych miar borelowskich. Miara niezmiennicza.

Wykład 15. Miara niezmiennicza (2).

Całkowanie po atraktorze względem miary. Momenty miary w ujęciu probabilistycznym i mechanicznym. Wyznaczanie momentów miary niezmienniczej i zastosowania. Wizualizacja miary niezmienniczej: algorytm probabilistyczny, deterministyczny, wizualizacja wolumetryczna.

Zakres projektu: Projekt obejmuje napisanie w dowolnie wybranym języku wysokiego poziomu programu będącego praktyczną realizacją jednego z zagadnień omawianych na wykładzie. Projekt ma za zadanie utrwalenie i zastosowanie w praktyce nabytej wiedzy.

Literatura:

Barnsley, M.F., Fractals Everywhere , Academic Press, 1988.

Edgar G., Integral, Probability and Fractal Measures , Springer-Verlag 1998.

Edgar, G., Measure, Topology and Fractal Geometry , Springer-Verlag, 1990.

Kudrewicz, J., Fraktale i Chaos , wyd. 3, WNT, 1996.

Martyn, T., Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji , NAKOM, 1996.

Massopust, P.R., Fractal Functions, Fractal Surfaces, and Wavelets , Academic Press, 1994.

Peitgen, H.-O., i inni, Fraktale, Granice Chaosu , PWN, 1995.

Peitgen, H.-O., Saupe, D., (red.), The Science of Fractal Images , Springer-Verlag, 1988.